Deux fournisseurs, une seule durée de vie

Ce qu'on emploie. La formule des probabilités totales appliquée au système complet formé des deux sortes de composants, puis la dérivation de $F_X$.

La fonction de répartition. Notons $A$ l'événement « le composant est de la première sorte », de probabilité $\frac{1}{3}$. Pour $t⩾0$, la formule des probabilités totales donne $$F_X(t)=\frac{1}{3}(1-{\mathrm{e}}^{-t})+\frac{2}{3}(1-{\mathrm{e}}^{-2t})=1-\frac{1}{3}{\mathrm{e}}^{-t}-\frac{2}{3}{\mathrm{e}}^{-2t},$$ et $F_X(t)=0$ pour $t<0$. On vérifie $F_X(0)=1-\frac{1}{3}-\frac{2}{3}=0$ et $F_X(t)\to 1$ en $+\infty$.

La densité. $F_X$ est continue sur $\mathbb{R}$ et de classe ${\mathcal{C}}^1$ sauf en $0$. En dérivant sur $]0,+\infty [$ : $$f_X(t)=\frac{1}{3}{\mathrm{e}}^{-t}+\frac{4}{3}{\mathrm{e}}^{-2t}(t>0),f_X(t)=0(t⩽0).$$ Contrôle de l'aire : $\frac{1}{3}\times 1+\frac{4}{3}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{3}+\frac{2}{3}=1$.

L'espérance. Les deux intégrales convergent (ce sont, à un coefficient près, celles de deux lois exponentielles) : ${\int }_0^{+\infty }t{\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t=1$ et ${\int }_0^{+\infty }t{\mathrm{e}}^{-2t}\mathrm{d}t=\frac{1}{4}$. Donc $$E(X)=\frac{1}{3}\times 1+\frac{4}{3}\times \frac{1}{4}=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=\frac{2}{3}.$$ On retrouve $\frac{1}{3}\times 1+\frac{2}{3}\times \frac{1}{2}$ : la moyenne des deux espérances, pondérée par les proportions.

Ce n'est pas une loi exponentielle. Si $X$ suivait $\mathcal{E}(\lambda )$, on aurait $\frac{1}{\lambda }=\frac{2}{3}$, donc $\lambda =\frac{3}{2}$, et $P([X>1])$ vaudrait ${\mathrm{e}}^{-1,5}\approx 0,2231$. Or $$P([X>1])=\frac{1}{3}{\mathrm{e}}^{-1}+\frac{2}{3}{\mathrm{e}}^{-2}\approx 0,2128.$$ Les deux nombres diffèrent : la loi de $X$ n'est pas exponentielle. Un mélange de lois sans mémoire n'est pas sans mémoire — observer qu'un composant a déjà duré rend plus vraisemblable qu'il soit de la sorte robuste.