L'uniforme n'oublie pas son passé

Ce qu'on emploie. Pour $X\hookrightarrow \mathcal{U}[a,b]$, la probabilité d'un sous-intervalle est proportionnelle à sa longueur ; et la définition d'une probabilité conditionnelle.

Les probabilités simples. Sur $[0,10]$, la densité vaut $\frac{1}{10}$, donc $$P([X⩾7])=\frac{10-7}{10}=0,3,P([X⩾4])=\frac{10-4}{10}=0,6,P([X⩾3])=0,7.$$

La probabilité conditionnelle. L'événement $[X⩾7]$ est inclus dans $[X⩾4]$, donc leur intersection est $[X⩾7]$ : $$P([X⩾7]\mid [X⩾4])=\frac{P([X⩾7])}{P([X⩾4])}=\frac{0,3}{0,6}=0,5.$$

La comparaison. L'absence de mémoire s'écrirait $$P([X⩾s+t]\mid [X⩾s])=P([X⩾t])$$ pour tous $s,t⩾0$. Ici $s=4$ et $t=3$ donnent $0,5$ d'un côté et $P([X⩾3])=0,7$ de l'autre. Les deux nombres diffèrent : la loi uniforme n'est pas sans mémoire.

Pourquoi. Attendre déjà quatre minutes, quand le maximum est dix, réduit le temps restant possible : il ne reste que six minutes de marge, et en attendre trois de plus est devenu plus difficile qu'au départ. La loi exponentielle, elle, n'a pas de borne supérieure, et c'est ce qui lui permet de « repartir à neuf » — le cours en fait même une caractérisation : seule la loi exponentielle, parmi les lois à densité positives, est sans mémoire.