La méthode d'inversion en sens inverse

Le support. $X$ est positive, donc $-\lambda X⩽0$ et $Y={\mathrm{e}}^{-\lambda X}$ prend ses valeurs dans $]0,1]$. On sait déjà que $F_Y(t)=0$ pour $t⩽0$ et $F_Y(t)=1$ pour $t⩾1$.

On passe par la fonction de répartition. Soit $t\in ]0,1]$ :

$$F_Y(t)=P([{\mathrm{e}}^{-\lambda X}⩽t])=P([-\lambda X⩽\ln t])=P\left(\left[X⩾-\frac{\ln t}{\lambda }\right]\right).$$

Le point délicat est la division par $-\lambda$, qui renverse l'inégalité. Comme $t⩽1$, le nombre $-\ln t$ est positif, et l'on est bien dans le domaine où $P([X⩾a])={\mathrm{e}}^{-\lambda a}$. D'où

$$F_Y(t)=\exp \left(-\lambda \times \left(-\frac{\ln t}{\lambda }\right)\right)={\mathrm{e}}^{\ln t}=t.$$

Conclusion. $F_Y$ vaut $0$ avant $0$, $t$ sur $[0,1]$ et $1$ après : c'est la fonction de répartition de la loi uniforme. Donc $Y\hookrightarrow \mathcal{U}[0,1]$.

Le point à retenir. Le cours fabrique une exponentielle à partir d'un tirage uniforme ; on vient de faire le trajet inverse. C'est le même énoncé, lu dans l'autre sens : appliquer sa propre fonction de répartition à une variable à densité rend une loi uniforme.