La moyenne et la médiane d'une durée de vie

Ce qu'on emploie. Pour $X\hookrightarrow \mathcal{E}(\lambda )$ : $F_X(t)=1-{\mathrm{e}}^{-\lambda t}$ sur $[0,+\infty [$, $E(X)=\frac{1}{\lambda }$ et $V(X)=\frac{1}{{\lambda }^2}$.

La durée de vie moyenne. $$E(X)=\frac{1}{0,2}=5\text{ heures.}$$

La médiane. On résout $F(m)=\frac{1}{2}$ : $$1-{\mathrm{e}}^{-0,2m}=\frac{1}{2}⟺{\mathrm{e}}^{-0,2m}=\frac{1}{2}⟺-0,2m=-\ln 2,$$ en composant par le logarithme, strictement croissant. D'où $$m=\frac{\ln 2}{0,2}=5\ln 2\approx 3,47\text{ heures.}$$

La comparaison. $m=E(X)\ln 2\approx 0,693E(X)<E(X)$ : la médiane est strictement inférieure à la moyenne. Cela vaut pour toute loi exponentielle, puisque le rapport $\ln 2$ ne dépend pas de $\lambda$.

La probabilité de ne pas atteindre la moyenne. $$P([X⩽E(X)])=F(5)=1-{\mathrm{e}}^{-0,2\times 5}=1-{\mathrm{e}}^{-1}\approx 0,632.$$

Lecture. Près de $63\%$ des composants meurent avant la durée de vie moyenne. Ce n'est pas un paradoxe : la loi exponentielle est très dissymétrique, et les rares composants qui durent très longtemps tirent la moyenne vers le haut sans déplacer la médiane. C'est exactement pour cette raison qu'en économie on publie souvent le revenu médian plutôt que le revenu moyen.