La partie entière d'une exponentielle

Ce qu'on emploie. La fonction de répartition de la loi exponentielle, $F_X(t)=1-{\mathrm{e}}^{-\lambda t}$ sur $[0,+\infty [$, et la traduction de l'événement $[N=k]$ en un encadrement de $X$ — la variable $N$ est discrète bien que $X$ soit à densité.

Les valeurs de $N$. $X$ est positive, donc $\lfloor X\rfloor ⩾0$ et $N⩾1$ : $N$ est à valeurs dans ${\mathbb{N}}^{\ast }$.

La traduction. Pour $k⩾1$, dire que $N=k$ revient à dire $\lfloor X\rfloor =k-1$, c'est-à-dire $$k-1⩽X<k.$$

Le calcul. $$P([N=k])=F_X(k)-F_X(k-1)=(1-{\mathrm{e}}^{-\lambda k})-(1-{\mathrm{e}}^{-\lambda (k-1)})={\mathrm{e}}^{-\lambda (k-1)}-{\mathrm{e}}^{-\lambda k}.$$ On factorise par ${\mathrm{e}}^{-\lambda (k-1)}$ : $$P([N=k])={\mathrm{e}}^{-\lambda (k-1)}(1-{\mathrm{e}}^{-\lambda })=\left({\mathrm{e}}^{-\lambda }{)}^{k-1}\right(1-{\mathrm{e}}^{-\lambda }).$$

La reconnaissance. Posons $p=1-{\mathrm{e}}^{-\lambda }$. Comme $\lambda >0$, on a $0<{\mathrm{e}}^{-\lambda }<1$, donc $p\in ]0,1[$, et $$P([N=k])=(1-p{)}^{k-1}p,k⩾1.$$ C'est exactement la loi géométrique : $$N\hookrightarrow \mathcal{G}(1-{\mathrm{e}}^{-\lambda }).$$

L'espérance. Pour une loi géométrique de paramètre $p$, $E(N)=\frac{1}{p}$ : $$E(N)=\frac{1}{1-{\mathrm{e}}^{-\lambda }}.$$

Contrôle. Pour $\lambda$ petit, $1-{\mathrm{e}}^{-\lambda }\approx \lambda$, donc $E(N)\approx \frac{1}{\lambda }=E(X)$ : arrondir à l'entier supérieur change peu de chose quand les durées sont longues. Pour $\lambda$ grand, $E(N)$ tend vers $1$ : la panne survient presque toujours dans la première période.

Ce que l'exercice illustre. Une fonction d'une variable à densité n'est pas nécessairement à densité — ici on obtient une variable discrète, et c'est le passage par $F_X$ qui a permis de le voir.