Le carré d'une uniforme

Variables aléatoires à densité · Transformations et simulation · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Soit $X ↪ U [0, 1]$ et $Y = X^{2}$ . Déterminer $F_{Y}$ puis une densité de $Y$ , et calculer $E (Y)$ .

Corrigé

Répartition. Pour $t \in [0, 1]$ , comme $X ⩾ 0$ :

$F_{Y} (t) = P (X^{2} ⩽ t) = P (X ⩽ t) = t .$

Densité. En dérivant sur $] 0, 1 [$ : $f_{Y} (t) = \frac{1}{2 t}$ , nulle ailleurs.

Contrôle. $\int_{0}^{1} \frac{d t}{2 t} = [t]_{0}^{1} = 1$ . C'est bien une densité — et remarquable : elle tend vers $+ \infty$ en $0$ . Une densité n'a aucune raison d'être bornée.

Espérance. Par transfert sur $X$ : $E (Y) = E (X^{2}) = \int_{0}^{1} t^{2} d t = \frac{1}{3}$ . Le même résultat par $f_{Y}$ : $\int_{0}^{1} t \cdot \frac{1}{2 t} d t = \int_{0}^{1} \frac{t}{2} d t = \frac{1}{3}$ .

Énoncé

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