Le premier des deux qui lâche

On travaille sur l'événement contraire. Dire que le minimum dépasse $t$, c'est dire que les deux dépassent $t$ :

$$[Z>t]=[X>t]\cap [Y>t].$$

C'est là tout l'exercice : l'événement $[Z⩽t]$, lui, ne se factorise pas — il est réalisé dès que l'un des deux tombe.

La fonction de répartition. Pour $t⩾0$, l'indépendance donne

$$P([Z>t])=P([X>t])P([Y>t])={\mathrm{e}}^{-2t}\times {\mathrm{e}}^{-3t}={\mathrm{e}}^{-5t},$$

donc $F_Z(t)=1-{\mathrm{e}}^{-5t}$. Pour $t<0$, $Z$ étant positive, $F_Z(t)=0$.

Conclusion. On reconnaît exactement la fonction de répartition de $\mathcal{E}(5)$ : $Z\hookrightarrow \mathcal{E}(2+3)$.

Durée de vie moyenne. $E(Z)=\frac{1}{5}=0,2$ an, soit environ $73$ jours.

Contrôle de bon sens. Les composants durent en moyenne $\frac{1}{2}$ et $\frac{1}{3}$ d'année. Le minimum doit être plus petit que les deux : $0,2$ est bien inférieur à $0,333$ et à $0,5$.

Le point à retenir. Pour un minimum, on écrit la fonction de survie, jamais la fonction de répartition. Et les paramètres exponentiels s'additionnent : un système en série tombe d'autant plus vite qu'il a de pièces.