Lire une table de la loi normale

Ce qu'on emploie. La relation $\Phi (-x)=1-\Phi (x)$, qui traduit la symétrie de la cloche, et le fait que $P([X=a])=0$ pour une variable à densité — les inégalités strictes ou larges donnent le même résultat.

Les valeurs négatives. La table ne donne que $\Phi (1)$ et $\Phi (2)$ ; on en déduit $$\Phi (-1)=1-0,8413=0,1587,\Phi (-2)=1-0,9772=0,0228.$$

Première probabilité. $$P([-1⩽X⩽2])=\Phi (2)-\Phi (-1)=0,9772-0,1587=0,8185.$$

Deuxième probabilité. L'événement $[|X|⩾1]$ est la réunion des deux événements incompatibles $[X⩾1]$ et $[X⩽-1]$, qui ont la même probabilité par symétrie : $$P([|X|⩾1])=2(1-\Phi (1))=2\times 0,1587=0,3174.$$ On peut aussi l'écrire $1-P([-1⩽X⩽1])=1-(0,8413-0,1587)=0,3174$ : les deux chemins concordent.

Troisième probabilité. $$P([X⩾-2])=1-\Phi (-2)=1-0,0228=0,9772=\Phi (2).$$ Ce n'est pas un hasard : par symétrie, $P([X⩾-2])=P([X⩽2])$.

Le repère à retenir. Environ $68\%$ de la masse est à moins d'un écart-type de la moyenne ($1-0,3174=0,6826$), et environ $95\%$ à moins de deux ($1-2\times 0,0228=0,9544$).