Loi exponentielle et absence de mémoire

Exercice · niveau 2 · mathématiques appliquées (ECG 2e année), chapitre 11 — Variables aléatoires à densité · Les lois usuelles

Énoncé

La durée de vie d'un composant, en années, suit $E (0, 25)$ . Calculer sa durée de vie moyenne, la probabilité qu'il dépasse $6$ ans, puis celle qu'il dépasse $10$ ans sachant qu'il a atteint $4$ ans.

Corrigé

Moyenne. $E (X) = \frac{1}{0 , 25} = 4$ ans.

$P ([X > 6])$ . $e^{- 0, 25 \times 6} = e^{- 1, 5} \approx 0, 2231$ .

Conditionnelle. Par absence de mémoire,

$P ([X > 10] ∣ [X > 4]) = P ([X > 6]) \approx 0, 2231.$

Vérification directe. $\frac{e ^{- 2, 5}}{e ^{- 1}} = e^{- 1, 5}$ . Les deux chemins donnent la même chose, et le second montre pourquoi : le quotient de deux exponentielles ne dépend que de la différence des exposants.

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