Partir de la fonction de répartition

Ce qu'on emploie. La densité s'obtient en dérivant la fonction de répartition là où celle-ci est de classe ${\mathcal{C}}^1$ ; le théorème de transfert donne les moments ; et $P([a⩽X⩽b])=F(b)-F(a)$.

La densité. $F$ est continue sur $\mathbb{R}$ (elle vaut $0$ en $0^{-}$ et $0^3=0$ en $0$, puis $1$ en $1$ des deux côtés) et de classe ${\mathcal{C}}^1$ sauf peut-être en $0$ et en $1$, deux points en nombre fini. En dérivant : $$f(t)=3t^2\text{ sur }[0,1],f(t)=0\text{ ailleurs.}$$

L'espérance. Par le théorème de transfert, sur un segment : $$E(X)={\int }_0^{1}t\times 3t^2\mathrm{d}t={\int }_0^{1}3t^3\mathrm{d}t={\left[\frac{3t^4}{4}\right]}_0^1=\frac{3}{4}.$$

La variance. D'abord le moment d'ordre $2$ : $$E(X^2)={\int }_0^{1}3t^4\mathrm{d}t={\left[\frac{3t^5}{5}\right]}_0^1=\frac{3}{5}.$$ Puis, par la formule de Koenig-Huygens, $$V(X)=\frac{3}{5}-{\left(\frac{3}{4}\right)}^2=\frac{48}{80}-\frac{45}{80}=\frac{3}{80}=0,0375.$$

La probabilité. Elle se lit directement sur $F$, sans intégrer : $$P\left(\left[\frac{1}{2}⩽X⩽1\right]\right)=F(1)-F\left(\frac{1}{2}\right)=1-\frac{1}{8}=\frac{7}{8}.$$

Lecture. La densité $3t^2$ croît sur $[0,1]$ : la masse se concentre près de $1$, ce que confirment $E(X)=0,75$ et la probabilité $\frac{7}{8}$ de dépasser la moitié de l'intervalle.