Quatre écritures pour une même probabilité

Le fait de départ. Pour une variable à densité, la fonction de répartition est continue sur $\mathbb{R}$. Le cours en déduit que $$P([X=a])=0\text{pour tout reˊel }a.$$ En particulier $P([X=1])=0$ et $P([X=2])=0$. Cela ne signifie pas que l'événement est impossible : $X$ prend bien une valeur, mais chaque valeur isolée a une probabilité nulle — c'est la différence essentielle avec le cas discret.

Les deux premières. L'événement $[X⩽1]$ est la réunion des événements incompatibles $[X<1]$ et $[X=1]$, donc $$P([X⩽1])=P([X<1])+P([X=1])=P([X<1]).$$ Les deux probabilités sont égales.

Les quatre suivantes. Chacune s'obtient à partir de $P([1⩽X⩽2])$ en retirant $P([X=1])$, $P([X=2])$, ou les deux — c'est-à-dire en retirant $0$. Les quatre nombres sont donc tous égaux, et valent $$F_X(2)-F_X(1)={\int }_1^2{f}_X(t)\mathrm{d}t.$$

Ce que cela change. Dans le cas discret, il faut compter les bornes avec soin. Pour une variable à densité, ce souci disparaît entièrement : c'est un allègement considérable, et la raison pour laquelle on écrit indifféremment l'une ou l'autre des quatre formes.