Quatre écritures pour une même probabilité

Exercice supplémentaire · niveau 1 (application) · mathématiques appliquées (ECG 2e année), chapitre 11 — Variables aléatoires à densité · Fonction de répartition

Énoncé

Soit $X$ une variable aléatoire à densité. Que valent $P ([X = 1])$ et $P ([X = 2])$ ? Comparer $P ([X < 1])$ et $P ([X ⩽ 1])$ , puis les quatre nombres $P ([1 < X < 2])$ , $P ([1 ⩽ X < 2])$ , $P ([1 < X ⩽ 2])$ et $P ([1 ⩽ X ⩽ 2])$ .

Corrigé

Le fait de départ. Pour une variable à densité, la fonction de répartition est continue sur $R$ . Le cours en déduit que $P ([X = a]) = 0 pour tout r e ˊ el a .$ En particulier $P ([X = 1]) = 0$ et $P ([X = 2]) = 0$ . Cela ne signifie pas que l'événement est impossible : $X$ prend bien une valeur, mais chaque valeur isolée a une probabilité nulle — c'est la différence essentielle avec le cas discret.

Les deux premières. L'événement $[X ⩽ 1]$ est la réunion des événements incompatibles $[X < 1]$ et $[X = 1]$ , donc $P ([X ⩽ 1]) = P ([X < 1]) + P ([X = 1]) = P ([X < 1]) .$ Les deux probabilités sont égales.

Les quatre suivantes. Chacune s'obtient à partir de $P ([1 ⩽ X ⩽ 2])$ en retirant $P ([X = 1])$ , $P ([X = 2])$ , ou les deux — c'est-à-dire en retirant $0$ . Les quatre nombres sont donc tous égaux, et valent $F_{X} (2) - F_{X} (1) = \int_{1}^{2} f_{X} (t) d t .$

Ce que cela change. Dans le cas discret, il faut compter les bornes avec soin. Pour une variable à densité, ce souci disparaît entièrement : c'est un allègement considérable, et la raison pour laquelle on écrit indifféremment l'une ou l'autre des quatre formes.

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.