Reconnaître une loi sur sa répartition

La reconnaissance. Sur $[2,5]$, $F$ est affine et croît de $0$ à $1$. C'est la signature de la loi uniforme : la répartition d'une $\mathcal{U}[a,b]$ vaut $\frac{x-a}{b-a}$ sur $[a,b]$. Ici $a=2$ et $b-a=3$, donc $b=5$ : $$X\hookrightarrow \mathcal{U}[2,5].$$

La densité. $F$ est continue sur $\mathbb{R}$ ($F(2)=0$ et $F(5)=1$ des deux côtés) et de classe ${\mathcal{C}}^1$ sauf en $2$ et $5$. En dérivant : $$f(t)=\frac{1}{3}\text{ sur }[2,5],f(t)=0\text{ ailleurs,}$$ ce qui est bien $\frac{1}{b-a}$.

La probabilité. Elle se lit directement sur $F$ : $$P([3⩽X⩽4])=F(4)-F(3)=\frac{4-2}{3}-\frac{3-2}{3}=\frac{2}{3}-\frac{1}{3}=\frac{1}{3}.$$ On retrouve le rapport des longueurs : $\frac{4-3}{5-2}=\frac{1}{3}$.

Les moments, pour compléter. $E(X)=\frac{2+5}{2}=3,5$ et $V(X)=\frac{9}{12}=0,75$.