Reconnaître une loi sur sa répartition

Exercice supplémentaire · niveau 1 (application) · mathématiques appliquées (ECG 2e année), chapitre 11 — Variables aléatoires à densité · Fonction de répartition

Énoncé

Soit $X$ de fonction de répartition $F (x) = 0$ pour $x < 2$ , $F (x) = \frac{x - 2}{3}$ pour $2 ⩽ x ⩽ 5$ , et $F (x) = 1$ pour $x > 5$ . Reconnaître la loi de $X$ , en donner une densité, et calculer $P ([3 ⩽ X ⩽ 4])$ .

Corrigé

La reconnaissance. Sur $[2, 5]$ , $F$ est affine et croît de $0$ à $1$ . C'est la signature de la loi uniforme : la répartition d'une $U [a, b]$ vaut $\frac{x - a}{b - a}$ sur $[a, b]$ . Ici $a = 2$ et $b - a = 3$ , donc $b = 5$ : $X ↪ U [2, 5] .$

La densité. $F$ est continue sur $R$ ( $F (2) = 0$ et $F (5) = 1$ des deux côtés) et de classe $C^{1}$ sauf en $2$ et $5$ . En dérivant : $f (t) = \frac{1}{3} sur [2, 5], f (t) = 0 ailleurs,$ ce qui est bien $\frac{1}{b - a}$ .

La probabilité. Elle se lit directement sur $F$ : $P ([3 ⩽ X ⩽ 4]) = F (4) - F (3) = \frac{4 - 2}{3} - \frac{3 - 2}{3} = \frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3} .$ On retrouve le rapport des longueurs : $\frac{4 - 3}{5 - 2} = \frac{1}{3}$ .

Les moments, pour compléter. $E (X) = \frac{2 + 5}{2} = 3, 5$ et $V (X) = \frac{9}{12} = 0, 75$ .

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