Simuler une exponentielle

Exercice · niveau 2 · mathématiques appliquées (ECG 2e année), chapitre 11 — Variables aléatoires à densité · Transformations et simulation

Énoncé

Soit $Y ↪ U [0, 1 [$ . Montrer que $X = - 2 ln (1 - Y)$ suit une loi exponentielle, et préciser son paramètre.

Corrigé

Pour $t ⩾ 0$ :

$P (X ⩽ t) = P (- 2 ln (1 - Y) ⩽ t) = P (ln (1 - Y) ⩾ - \frac{t}{2}) = P (1 - Y ⩾ e^{- t /2}) = P (Y ⩽ 1 - e^{- t /2}) .$

Comme $Y$ est uniforme sur $[0, 1 [$ et que $1 - e^{- t /2} \in [0, 1 [$ , cette probabilité vaut $1 - e^{- t /2}$ .

C'est la fonction de répartition de $E (λ)$ avec $λ = \frac{1}{2}$ .

Vérification. $E (X) = \frac{1}{λ} = 2$ . Et directement : la formule du cours $X = - \frac{1}{λ} ln (1 - Y)$ avec $λ = \frac{1}{2}$ donne bien $- 2 ln (1 - Y)$ .

Attention au sens des inégalités : diviser par $- 2$ retourne l'inégalité, et c'est là que se glissent les erreurs.

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.