Simuler une exponentielle

Pour $t⩾0$ :

$$P(X⩽t)=P(-2\ln (1-Y)⩽t)=P(\ln (1-Y)⩾-\frac{t}{2})=P(1-Y⩾{\mathrm{e}}^{-t/2})=P(Y⩽1-{\mathrm{e}}^{-t/2}).$$

Comme $Y$ est uniforme sur $[0,1[$ et que $1-{\mathrm{e}}^{-t/2}\in [0,1[$, cette probabilité vaut $1-{\mathrm{e}}^{-t/2}$.

C'est la fonction de répartition de $\mathcal{E}(\lambda )$ avec $\lambda =\frac{1}{2}$.

Vérification. $E(X)=\frac{1}{\lambda }=2$. Et directement : la formule du cours $X=-\frac{1}{\lambda }\ln (1-Y)$ avec $\lambda =\frac{1}{2}$ donne bien $-2\ln (1-Y)$.

Attention au sens des inégalités : diviser par $-2$ retourne l'inégalité, et c'est là que se glissent les erreurs.