Somme de lois normales

Exercice · niveau 2 · mathématiques appliquées (ECG 2e année), chapitre 11 — Variables aléatoires à densité · Les lois usuelles

Énoncé

Soient $X ↪ N (3, 4)$ et $Y ↪ N (- 2, 9)$ , indépendantes. Donner la loi de $X + Y$ , puis $P ([X + Y ⩽ 1])$ en fonction de $Φ$ .

Corrigé

La loi. Par stabilité, $X + Y ↪ N (3 - 2, 4 + 9) = N (1, 13)$ , d'écart-type $13 \approx 3, 606$ .

La probabilité. En centrant et réduisant :

$P ([X + Y ⩽ 1]) = Φ (\frac{1 - 1}{13}) = Φ (0) = \frac{1}{2} .$

Sans calcul. $1$ est l'espérance de $X + Y$ , et la loi normale est symétrique autour de son espérance : la réponse était $\frac{1}{2}$ d'avance.

Le piège. On additionne les VARIANCES, jamais les écarts-types : $13 \approx 3, 61$ et non $2 + 3 = 5$ .

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.