Trois moments, dont un qui n'existe pas

Ce qu'on emploie. Le calcul d'une intégrale généralisée sur $[1,A]$ suivi d'un passage à la limite, le théorème de transfert, et le critère de convergence des intégrales de Riemann en $+\infty$ — que l'on redémontre ici à la main.

C'est une densité. $f$ est positive et continue sur $[1,+\infty [$. Pour $A>1$ : $${\int }_1^{A}3t^{-4}\mathrm{d}t=[-t^{-3}{]}_1^A=1-\frac{1}{A^3}\underset{A\to +\infty }{\to }1.$$ L'aire totale vaut $1$ : $f$ est bien une densité.

L'espérance. Par transfert avec $g(t)=t$ : $${\int }_1^{A}3t^{-3}\mathrm{d}t={\left[-\frac{3}{2}{t}^{-2}\right]}_1^A=\frac{3}{2}-\frac{3}{2A^2}\underset{A\to +\infty }{\to }\frac{3}{2}.$$ L'intégrande étant positif, la convergence est absolue et $$E(X)=\frac{3}{2}.$$

Le moment d'ordre $2$. $${\int }_1^{A}3t^{-2}\mathrm{d}t=[-3t^{-1}{]}_1^A=3-\frac{3}{A}\underset{A\to +\infty }{\to }3,$$ donc $E(X^2)=3$, et par Koenig-Huygens $$V(X)=3-{\left(\frac{3}{2}\right)}^2=3-\frac{9}{4}=\frac{3}{4}.$$

Le moment d'ordre $3$ n'existe pas. Par transfert avec $g(t)=t^3$ : $${\int }_1^A{t}^3\times \frac{3}{t^4}\mathrm{d}t={\int }_1^A\frac{3}{t}\mathrm{d}t=3\ln A\underset{A\to +\infty }{\to }+\infty .$$ L'intégrale diverge, et l'intégrande étant positif, la convergence absolue est exclue : $X^3$ n'admet pas d'espérance.

La leçon. Une même variable peut avoir une espérance, une variance, et pas de moment d'ordre $3$. Tout se joue sur la vitesse à laquelle la densité décroît en $+\infty$ : ici en $t^{-4}$, ce qui laisse converger $\int t^k{t}^{-4}$ pour $k⩽2$ et diverger pour $k=3$. On justifie toujours l'existence avant de calculer.