Un changement d'unité

Ce qu'on emploie. La transformation affine d'une loi normale : si $X\hookrightarrow \mathcal{N}(m,{\sigma }^2)$ et $a\ne 0$, alors $$aX+b\hookrightarrow \mathcal{N}(am+b,a^2{\sigma }^2).$$

La loi de $Y$. Avec $a=100$ et $b=0$ : $$Y\hookrightarrow \mathcal{N}(100\times 1,75;100^2\times 0,01)=\mathcal{N}(175;100).$$ L'écart-type vaut donc $\sqrt{100}=10$ centimètres. C'est cohérent : celui de $X$ vaut $\sqrt{0,01}=0,1$ mètre, soit exactement $10$ centimètres.

Le point de vigilance. Le second paramètre d'une loi normale est la variance, pas l'écart-type. Elle est donc multipliée par $a^2=10000$ et non par $100$. Écrire $\mathcal{N}(175;1)$ serait l'erreur classique.

La probabilité. On centre et l'on réduit : $Y^{\ast }=\frac{Y-175}{10}\hookrightarrow \mathcal{N}(0,1)$, et $$P([Y⩾190])=P\left(\left[Y^{\ast }⩾\frac{190-175}{10}\right]\right)=P([Y^{\ast }⩾1,5])=1-\Phi (1,5).$$ Donc $$P([Y⩾190])=1-0,9332=0,0668,$$ soit environ $6,7\%$ des adultes.

Contrôle. Le même calcul en mètres donnerait $P([X⩾1,90])$ avec $\frac{1,90-1,75}{0,1}=1,5$ : la variable centrée réduite est la même, comme il se doit — un changement d'unité ne modifie aucune probabilité.