Un seuil sur une loi normale

Ici $\mu =60$ et ${\sigma }^2=64$, donc $\sigma =8$. La variable centrée réduite est $X^{\ast }=\frac{X-60}{8}$, et elle suit $\mathcal{N}(0,1)$.

Le dépassement.

$$P([X>72])=P\left(X^{\ast }>\frac{72-60}{8}\right)=1-\Phi (1,5)\approx 1-0,9332=0,0668.$$

Environ $6,7\%$ des colis dépassent $72$ kilogrammes.

Le seuil. On cherche $s$ tel que $P([X⩽s])=0,95$, c'est-à-dire

$$\Phi \left(\frac{s-60}{8}\right)=0,95⟹\frac{s-60}{8}=1,645⟹s=60+8\times 1,645=73,16.$$

Contrôle de cohérence. $73,16$ est plus grand que $72$, et l'on a bien trouvé plus haut que $72$ laisse $6,7\%$ au-dessus, soit plus que les $5\%$ demandés. Les deux réponses se soutiennent.

Le point à retenir. Les deux questions sont la même lecture, prise dans les deux sens : de la valeur vers la probabilité, puis de la probabilité vers la valeur. Le centrage-réduction est l'unique passage, et l'on n'oublie pas de revenir en multipliant par $\sigma$ et en ajoutant $\mu$.