Un seuil sur une loi normale

Exercice · niveau 2 · mathématiques appliquées (ECG 2e année), chapitre 11 — Variables aléatoires à densité · Les lois usuelles

Énoncé

Le poids d'un colis, en kilogrammes, suit $N (60, 64)$ . Calculer la probabilité qu'un colis dépasse $72$ kilogrammes, puis le poids $s$ tel que $95 %$ des colis pèsent moins de $s$ . On donne $Φ (1, 5) \approx 0, 9332$ et $Φ (1, 645) \approx 0, 95$ .

Corrigé

Ici $μ = 60$ et $σ^{2} = 64$ , donc $σ = 8$ . La variable centrée réduite est $X^{*} = \frac{X - 60}{8}$ , et elle suit $N (0, 1)$ .

Le dépassement.

$P ([X > 72]) = P (X^{*} > \frac{72 - 60}{8}) = 1 - Φ (1, 5) \approx 1 - 0, 9332 = 0, 0668.$

Environ $6, 7 %$ des colis dépassent $72$ kilogrammes.

Le seuil. On cherche $s$ tel que $P ([X ⩽ s]) = 0, 95$ , c'est-à-dire

$Φ (\frac{s - 60}{8}) = 0, 95 ⟹ \frac{s - 60}{8} = 1, 645 ⟹ s = 60 + 8 \times 1, 645 = 73, 16.$

Contrôle de cohérence. $73, 16$ est plus grand que $72$ , et l'on a bien trouvé plus haut que $72$ laisse $6, 7 %$ au-dessus, soit plus que les $5 %$ demandés. Les deux réponses se soutiennent.

Le point à retenir. Les deux questions sont la même lecture, prise dans les deux sens : de la valeur vers la probabilité, puis de la probabilité vers la valeur. Le centrage-réduction est l'unique passage, et l'on n'oublie pas de revenir en multipliant par $σ$ et en ajoutant $μ$ .

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.