Une densité à paramètre

La constante. Sur $[0,x]$, une intégration par parties — licite, car c'est un segment — donne

$${\int }_0^{x}t{\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t=[-t{\mathrm{e}}^{-t}{]}_0^x+{\int }_0^x{\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t=-x{\mathrm{e}}^{-x}+1-{\mathrm{e}}^{-x}\underset{x\to +\infty }{\to }1.$$

Donc ${\int }_0^{+\infty }t{\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t=1$ et $c=1$.

Espérance. $E(X)={\int }_0^{+\infty }{t}^2{\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t$. Une seconde intégration par parties sur $[0,x]$ ramène à $2{\int }_0^{x}t{\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t$, dont la limite vaut $2$. Donc

$$E(X)=2.$$

Contrôle numérique. L'intégrale ${\int }_0^{60}{t}^2{\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t$ vaut $2,0000$ à $10^{-9}$ près. Et la densité culmine en $t=1$, ce qu'on vérifie en dérivant $t{\mathrm{e}}^{-t}$ : le mode est à gauche de l'espérance, la loi étant étalée vers la droite.