Une densité à vérifier

Variables aléatoires à densité · Reconnaître une densité · niveau 1 (application)

Énoncé

La fonction $f (t) = 2 t$ sur $[0, 1]$ , nulle ailleurs, est-elle une densité ? Calculer $E (X)$ et $V (X)$ .

Densité. $f$ est positive, continue sauf en $1$ , et $\int_{0}^{1} 2 t d t = [t^{2}]_{0}^{1} = 1$ .

Espérance. $E (X) = \int_{0}^{1} t \times 2 t d t = [\frac{2 t ^{3}}{3}]_{0}^{1} = \frac{2}{3}$ .

Variance. $E (X^{2}) = \int_{0}^{1} 2 t^{3} d t = \frac{1}{2}$ , donc

$V (X) = \frac{1}{2} - (\frac{2}{3})^{2} = \frac{1}{2} - \frac{4}{9} = \frac{1}{18} \approx 0, 0556.$

Contrôle de bon sens. La densité croît sur $[0, 1]$ : la masse est à droite, et $E (X) = \frac{2}{3} > \frac{1}{2}$ . Cohérent.