Une densité constante

C'est une densité. $f$ est positive, continue sur $\mathbb{R}$ sauf en $1$ et $5$ (deux points, en nombre fini), et son intégrale est l'aire d'un rectangle de largeur $5-1=4$ et de hauteur $\frac{1}{4}$ : $${\int }_{\mathbb{R}}f=4\times \frac{1}{4}=1.$$

La reconnaissance. Une densité constante sur un segment $[a,b]$ et nulle ailleurs, de valeur $\frac{1}{b-a}$, est celle de la loi uniforme : $$X\hookrightarrow \mathcal{U}[1,5].$$

Les moments. Les formules du cours donnent $$E(X)=\frac{a+b}{2}=\frac{1+5}{2}=3,V(X)=\frac{(b-a{)}^2}{12}=\frac{16}{12}=\frac{4}{3}\approx 1,33.$$ L'écart-type vaut $\sqrt{4/3}\approx 1,15$.

La probabilité. Pour une loi uniforme, la probabilité d'un sous-intervalle est proportionnelle à sa longueur : $$P([2⩽X⩽3])=\frac{3-2}{5-1}=\frac{1}{4}.$$

Remarque. Les inégalités strictes donneraient le même résultat, puisque $P([X=2])=P([X=3])=0$ : pour une variable à densité, les quatre écritures $P(2<X<3)$, $P(2⩽X<3)$, $P(2<X⩽3)$ et $P(2⩽X⩽3)$ ont toutes la même valeur.