Une densité en deux paliers

Ce qu'on emploie. Une fonction positive, continue sauf en un nombre fini de points, dont l'intégrale sur $\mathbb{R}$ vaut $1$, est une densité. Ici $f$ est nulle hors de deux segments, donc toutes les intégrales sont des intégrales sur des segments.

La constante. L'aire totale est celle de deux rectangles, de largeur $1$ chacun : $${\int }_{\mathbb{R}}f=a\times 1+2a\times 1=3a.$$ L'égalité $3a=1$ donne $$a=\frac{1}{3}.$$ On a bien $a>0$, donc $f$ est positive : c'est une densité. Noter qu'elle est discontinue en $0$, $1$, $2$ et $3$ — quatre points, en nombre fini : cela ne gêne en rien.

L'espérance. Elle existe, l'intégrale portant sur des segments : $$E(X)={\int }_0^1\frac{t}{3}\mathrm{d}t+{\int }_2^3\frac{2t}{3}\mathrm{d}t=\frac{1}{3}{\left[\frac{t^2}{2}\right]}_0^1+\frac{2}{3}{\left[\frac{t^2}{2}\right]}_2^3.$$ Le premier terme vaut $\frac{1}{6}$, le second $\frac{2}{3}\times \frac{9-4}{2}=\frac{2}{3}\times \frac{5}{2}=\frac{5}{3}$. Donc $$E(X)=\frac{1}{6}+\frac{10}{6}=\frac{11}{6}\approx 1,83.$$

Contrôle. La masse se répartit en $\frac{1}{3}$ autour de $0,5$ et $\frac{2}{3}$ autour de $2,5$, ce qui donne $\frac{1}{3}\times 0,5+\frac{2}{3}\times 2,5=\frac{1}{6}+\frac{5}{3}=\frac{11}{6}$ : les deux calculs concordent.

La probabilité. Aucune masse ne se trouve entre $1$ et $2$, donc $$P([X⩽2])={\int }_0^1\frac{1}{3}\mathrm{d}t=\frac{1}{3}.$$ Remarquer que $E(X)=\frac{11}{6}$ est une valeur que $X$ ne prend jamais : l'espérance n'a aucune raison d'appartenir au support de la loi.