Une densité en toit

Positivité. Sur $[0,1]$, $t⩾0$ ; sur $]1,2]$, $2-t⩾0$ ; ailleurs $f$ est nulle. Donc $f⩾0$ partout.

Continuité. $f$ est continue sur chaque morceau, et les valeurs se recollent en $t=1$ (les deux expressions y valent $1$) comme en $0$ et en $2$ (elles y valent $0$). Elle est donc continue sur $\mathbb{R}$.

Aire totale. Les intégrales sont ici sur des segments, donc immédiates :

$${\int }_0^{1}t\mathrm{d}t={\left[\frac{t^2}{2}\right]}_0^1=\frac{1}{2},{\int }_1^2(2-t)\mathrm{d}t={\left[2t-\frac{t^2}{2}\right]}_1^2=2-\frac{3}{2}=\frac{1}{2}.$$

Leur somme vaut $1$ : $f$ est bien une densité.

Espérance. Par le théorème de transfert avec $g(t)=t$ :

$$E(X)={\int }_0^1{t}^2\mathrm{d}t+{\int }_1^{2}t(2-t)\mathrm{d}t=\frac{1}{3}+{\left[t^2-\frac{t^3}{3}\right]}_1^2=\frac{1}{3}+\frac{2}{3}=1.$$

Contrôle sans calcul. Le graphe est un triangle de sommet $(1,1)$, symétrique par rapport à la droite d'équation $t=1$. L'espérance devait donc valoir $1$, et le calcul le confirme.

Le point à retenir. Une densité n'a aucune raison d'être donnée par une seule formule : le découpage en morceaux est la règle, et chaque morceau s'intègre séparément. Quand la figure a un axe de symétrie, l'espérance se lit dessus.