Une densité exponentielle

La reconnaissance. La densité de la loi exponentielle de paramètre $\lambda >0$ est $t\mapsto \lambda {\mathrm{e}}^{-\lambda t}$ sur $[0,+\infty [$, nulle ailleurs. Ici le coefficient devant l'exponentielle et celui de l'exposant valent tous deux $3$ : donc $$X\hookrightarrow \mathcal{E}(3).$$

C'est bien une densité. On le vérifie sur un segment $[0,A]$ : $${\int }_0^{A}3{\mathrm{e}}^{-3t}\mathrm{d}t=[-{\mathrm{e}}^{-3t}{]}_0^A=1-{\mathrm{e}}^{-3A}\underset{A\to +\infty }{\to }1.$$

Les moments. Les formules du cours donnent $$E(X)=\frac{1}{\lambda }=\frac{1}{3}\approx 0,333,V(X)=\frac{1}{{\lambda }^2}=\frac{1}{9}\approx 0,111,$$ et $\sigma (X)=\frac{1}{3}$ — pour une loi exponentielle, l'écart-type est égal à l'espérance.

La probabilité. La fonction de répartition vaut $F_X(t)=1-{\mathrm{e}}^{-3t}$ sur $[0,+\infty [$, donc $$P([X>1])=1-F_X(1)={\mathrm{e}}^{-3}\approx 0,0498.$$

Le piège. Le paramètre $\lambda =3$ n'est pas l'espérance : celle-ci vaut $\frac{1}{3}$. Confondre les deux revient à annoncer une durée de vie moyenne neuf fois trop grande.