Une densité paire

C'est une densité. $f$ est positive (le carré et le coefficient $\frac{3}{2}$ le sont), continue sur $\mathbb{R}$ sauf en $-1$ et $1$, et $${\int }_{-1}^1\frac{3}{2}{t}^2\mathrm{d}t=\frac{3}{2}{\left[\frac{t^3}{3}\right]}_{-1}^1=\frac{3}{2}\times \frac{1-(-1)}{3}=\frac{3}{2}\times \frac{2}{3}=1.$$

L'espérance. La fonction $t\mapsto tf(t)=\frac{3}{2}{t}^3$ est impaire, et le segment $[-1,1]$ est symétrique par rapport à $0$ : l'intégrale est donc nulle. On le vérifie : $$E(X)=\frac{3}{2}{\left[\frac{t^4}{4}\right]}_{-1}^1=\frac{3}{2}\times \frac{1-1}{4}=0.$$ La variable est centrée, ce que la symétrie de la densité annonçait.

La variance. Comme $E(X)=0$, la formule de Koenig-Huygens se réduit à $V(X)=E(X^2)$ : $$E(X^2)={\int }_{-1}^1\frac{3}{2}{t}^4\mathrm{d}t=\frac{3}{2}{\left[\frac{t^5}{5}\right]}_{-1}^1=\frac{3}{2}\times \frac{2}{5}=\frac{3}{5}=0,6.$$ Donc $V(X)=\frac{3}{5}$ et $\sigma (X)=\sqrt{0,6}\approx 0,775$.

La probabilité. $$P\left(\left[|X|⩽\frac{1}{2}\right]\right)={\int }_{-1/2}^{1/2}\frac{3}{2}{t}^2\mathrm{d}t=\frac{1}{2}[t^3{]}_{-1/2}^{1/2}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{8}+\frac{1}{8}\right)=\frac{1}{8}.$$

Lecture. Seul un huitième de la masse se trouve dans la moitié centrale de l'intervalle : la densité $\frac{3}{2}{t}^2$ s'annule en $0$ et culmine aux bords. C'est l'inverse d'une cloche, et pourtant l'espérance est nulle — l'espérance ne dit rien de la forme.