Une différence de deux lois normales

Ce qu'on emploie. La transformation affine d'une loi normale ($aY+b\hookrightarrow \mathcal{N}(am+b,a^2{\sigma }^2)$), la stabilité de la loi normale par somme de variables indépendantes, et le centrage-réduction.

La loi de $-Y$. On applique la transformation affine avec $a=-1$ et $b=0$ : $$-Y\hookrightarrow \mathcal{N}(-1,(-1{)}^2\times 4)=\mathcal{N}(-1,4).$$ La moyenne change de signe, la variance non : c'est le point à surveiller.

La loi de $Z$. $X$ et $-Y$ sont indépendantes ($-Y$ est fonction de $Y$ seule), donc leur somme suit une loi normale, dont les paramètres s'ajoutent : $$Z=X+(-Y)\hookrightarrow \mathcal{N}(2-1,1+4)=\mathcal{N}(1,5).$$ L'écart-type vaut $\sqrt{5}\approx 2,236$.

La probabilité. L'événement $[X>Y]$ est exactement $[Z>0]$. On centre et l'on réduit : $Z^{\ast }=\frac{Z-1}{\sqrt{5}}$ suit $\mathcal{N}(0,1)$, et $$P([Z>0])=P\left(\left[Z^{\ast }>\frac{0-1}{\sqrt{5}}\right]\right)=P\left(\left[Z^{\ast }>-\frac{1}{\sqrt{5}}\right]\right)=1-\Phi \left(-\frac{1}{\sqrt{5}}\right).$$ Comme $\Phi (-x)=1-\Phi (x)$, cela vaut $\Phi \left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)$. Or $\frac{1}{\sqrt{5}}\approx 0,447$, arrondi à $0,45$ : $$P([X>Y])\approx \Phi (0,45)=0,6736.$$

Lecture. $X$ dépasse $Y$ environ deux fois sur trois. C'est cohérent : l'écart moyen $E(Z)=1$ est positif, mais il ne vaut que $0,45$ écart-type, ce qui laisse une place appréciable à l'événement contraire.

Le piège serait d'écrire $V(X-Y)=V(X)-V(Y)=-3$ : une variance ne peut pas être négative, et les variances de variables indépendantes s'ajoutent, que l'on somme ou que l'on soustraie.