Une espérance sans variance

Densité. $f$ est positive et continue sur $[1,+\infty [$. On calcule sur un segment, puis on passe à la limite :

$${\int }_1^x\frac{2}{t^3}\mathrm{d}t={\left[-\frac{1}{t^2}\right]}_1^x=1-\frac{1}{x^2}\underset{x\to +\infty }{\to }1.$$

L'intégrale converge et vaut $1$ : $f$ est une densité.

Espérance. L'intégrande $tf(t)=\frac{2}{t^2}$ est positive, la convergence absolue se confond donc avec la convergence simple :

$${\int }_1^x\frac{2}{t^2}\mathrm{d}t={\left[-\frac{2}{t}\right]}_1^x=2-\frac{2}{x}\underset{x\to +\infty }{\to }2.$$

Donc $E(X)=2$.

Pas de variance. Il faudrait un moment d'ordre $2$, c'est-à-dire la convergence de

$${\int }_1^{+\infty }{t}^{2}f(t)\mathrm{d}t={\int }_1^{+\infty }\frac{2}{t}\mathrm{d}t.$$

Or ${\int }_1^x\frac{2}{t}\mathrm{d}t=2\ln x\to +\infty$ : c'est l'intégrale de Riemann d'exposant $1$, qui diverge. $X$ n'a donc pas de moment d'ordre $2$, donc pas de variance.

Le point à retenir. Chaque moment coûte une puissance. Ici l'exposant descend de $3$ à $2$ puis à $1$ : la densité converge, l'espérance encore, la variance non. Que $\int f=1$ ne présage rien de $\int tf$, et que $\int tf$ converge ne présage rien de $\int t^{2}f$ : les trois s'examinent séparément.