Une loi exponentielle

Les formules du cours. Pour $X\hookrightarrow \mathcal{E}(\lambda )$ : $$F_X(t)=1-{\mathrm{e}}^{-\lambda t}\text{ sur }[0,+\infty [,E(X)=\frac{1}{\lambda },V(X)=\frac{1}{{\lambda }^2}.$$

Les moments. Avec $\lambda =0,5$ : $$E(X)=\frac{1}{0,5}=2\text{ ans},V(X)=\frac{1}{0,25}=4,\sigma (X)=\sqrt{4}=2\text{ ans}.$$ L'écart-type égale l'espérance : c'est une propriété caractéristique de la loi exponentielle, et une dispersion considérable.

La probabilité de dépasser $4$ ans. $$P([X>4])=1-F_X(4)={\mathrm{e}}^{-0,5\times 4}={\mathrm{e}}^{-2}\approx 0,135.$$

La probabilité de ne pas atteindre $2$ ans. $$P([X⩽2])=F_X(2)=1-{\mathrm{e}}^{-1}\approx 0,632.$$

Lecture. Près de $63\%$ des durées sont inférieures à la moyenne, et seulement $13,5\%$ dépassent son double. La loi exponentielle est fortement dissymétrique : beaucoup de durées courtes, quelques-unes très longues.