Une loi normale et sa table

Ce qu'on emploie. Le centrage-réduction : si $X\hookrightarrow \mathcal{N}(\mu ,{\sigma }^2)$, alors $X^{\ast }=\frac{X-\mu }{\sigma }$ suit $\mathcal{N}(0,1)$. La relation $\Phi (-x)=1-\Phi (x)$ permet de traiter les valeurs négatives.

Les paramètres. Ici $\mu =10$ et ${\sigma }^2=4$, donc l'écart-type vaut $$\sigma =\sqrt{4}=2.$$ C'est le point de vigilance : le second paramètre est la variance, pas l'écart-type.

Première probabilité. $$P([X⩽14])=P\left(\left[X^{\ast }⩽\frac{14-10}{2}\right]\right)=\Phi (2)=0,9772.$$

Seconde probabilité. $$P([X⩽8])=P\left(\left[X^{\ast }⩽\frac{8-10}{2}\right]\right)=\Phi (-1)=1-\Phi (1)=1-0,8413=0,1587.$$

Lecture. $14$ est à deux écarts-types au-dessus de la moyenne : la dépasser n'arrive que dans $2,28\%$ des cas. $8$ est à un écart-type en dessous : environ $16\%$ des valeurs sont plus petites. On en déduit au passage $$P([8⩽X⩽14])=0,9772-0,1587=0,8185.$$