Une loi sans espérance

Densité. $f$ est positive et continue sur $[1,+\infty [$, et sur $[1,x]$ :

$${\int }_1^x\frac{\mathrm{d}t}{t^2}={\left[-\frac{1}{t}\right]}_1^x=1-\frac{1}{x}\underset{x\to +\infty }{\to }1.$$

Pas d'espérance. Il faudrait la convergence de ${\int }_1^{+\infty }t\times \frac{1}{t^2}\mathrm{d}t={\int }_1^{+\infty }\frac{\mathrm{d}t}{t}$, qui est l'intégrale de Riemann avec $\alpha =1$ : elle diverge.

Donc $X$ n'admet pas d'espérance.

Ce qu'il faut retenir. La loi est parfaitement définie — son aire vaut $1$, on peut calculer $P(X⩽5)=0,8$ — et pourtant elle n'a pas de moyenne. Justifier l'existence n'est jamais une formalité.