Une loi sans espérance

Exercice · niveau 3 (difficile) · mathématiques appliquées (ECG 2e année), chapitre 11 — Variables aléatoires à densité · Reconnaître une densité

Énoncé

Soit $f (t) = \frac{1}{t ^{2}}$ pour $t ⩾ 1$ , nulle ailleurs. Montrer que c'est une densité, et que la variable correspondante n'a pas d'espérance.

Corrigé

Densité. $f$ est positive et continue sur $[1, + \infty [$ , et sur $[1, x]$ :

$\int_{1}^{x} \frac{d t}{t ^{2}} = [- \frac{1}{t}]_{1}^{x} = 1 - \frac{1}{x} x \to + \infty 1.$

Pas d'espérance. Il faudrait la convergence de $\int_{1}^{+ \infty} t \times \frac{1}{t ^{2}} d t = \int_{1}^{+ \infty} \frac{d t}{t}$ , qui est l'intégrale de Riemann avec $α = 1$ : elle diverge.

Donc $X$ n'admet pas d'espérance.

Ce qu'il faut retenir. La loi est parfaitement définie — son aire vaut $1$ , on peut calculer $P (X ⩽ 5) = 0, 8$ — et pourtant elle n'a pas de moyenne. Justifier l'existence n'est jamais une formalité.

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.