Une loi uniforme

La densité. Elle vaut $\frac{1}{8-2}=\frac{1}{6}$ sur $[2,8]$ et $0$ ailleurs. Toutes les probabilités se lisent donc comme des rapports de longueurs.

Première probabilité. L'intervalle $[2,5]$ a pour longueur $3$, sur une longueur totale de $6$ : $$P([X⩽5])=\frac{5-2}{6}=\frac{1}{2}.$$ C'est la médiane : elle coïncide ici avec l'espérance, la loi uniforme étant symétrique.

Les moments. Les formules du cours, avec $a=2$ et $b=8$ : $$E(X)=\frac{a+b}{2}=\frac{2+8}{2}=5,V(X)=\frac{(b-a{)}^2}{12}=\frac{36}{12}=3.$$ L'écart-type vaut $\sqrt{3}\approx 1,73$.

Seconde probabilité. L'intervalle $[7,8]$ a pour longueur $1$ : $$P([X⩾7])=\frac{8-7}{6}=\frac{1}{6}\approx 0,167.$$

Contrôle de cohérence. $P([X⩽5])+P([5⩽X⩽7])+P([X⩾7])=\frac{1}{2}+\frac{2}{6}+\frac{1}{6}=1$ : les trois morceaux recouvrent bien tout le segment.