Une répartition en exponentielle d'un carré

Ce qu'on emploie. La dérivation de $F$, le théorème de transfert appliqué à $g(t)=t^2$, et le calcul d'une intégrale généralisée sur un segment $[0,A]$ suivi d'un passage à la limite — la seule technique que le programme autorise.

La densité. $F$ est continue ($F(0)=1-{\mathrm{e}}^0=0$ des deux côtés), croissante, de limite $1$ en $+\infty$, et de classe ${\mathcal{C}}^1$ sauf peut-être en $0$. En dérivant sur $]0,+\infty [$ : $$f(t)=2t{\mathrm{e}}^{-t^2}\text{ pour }t>0,f(t)=0\text{ pour }t⩽0.$$ Elle est bien positive.

La probabilité. $$P([X⩾1])=1-F(1)={\mathrm{e}}^{-1}\approx 0,368.$$

Le moment d'ordre $2$. Par le théorème de transfert, il s'agit d'étudier, pour $A>0$, l'intégrale sur le segment $[0,A]$ $$I_A={\int }_0^A{t}^2\times 2t{\mathrm{e}}^{-t^2}\mathrm{d}t.$$ On pose $u=t^2$, donc $\mathrm{d}u=2t\mathrm{d}t$, et l'intégrale devient $$I_A={\int }_0^{A^2}u{\mathrm{e}}^{-u}\mathrm{d}u.$$ Une intégration par parties sur ce segment, avec $u$ et $-{\mathrm{e}}^{-u}$, donne $${\int }_0^{B}u{\mathrm{e}}^{-u}\mathrm{d}u=[-u{\mathrm{e}}^{-u}{]}_0^B+{\int }_0^B{\mathrm{e}}^{-u}\mathrm{d}u=-B{\mathrm{e}}^{-B}+1-{\mathrm{e}}^{-B}.$$

La limite. Quand $B\to +\infty$, la croissance comparée donne $B{\mathrm{e}}^{-B}\to 0$ et ${\mathrm{e}}^{-B}\to 0$. L'intégrande étant positif, la convergence est absolue, et $$E(X^2)=1.$$

Contrôle. L'aire totale vaut bien $1$ : le même calcul sans le facteur $t^2$ donne ${\int }_0^{A}2t{\mathrm{e}}^{-t^2}\mathrm{d}t=[-{\mathrm{e}}^{-t^2}{]}_0^A=1-{\mathrm{e}}^{-A^2}\to 1$. La fonction $f$ est donc bien une densité.