Une transformation affine

Exercice · niveau 2 · mathématiques appliquées (ECG 2e année), chapitre 11 — Variables aléatoires à densité · Transformations et simulation

Énoncé

Soit $X ↪ U [0, 1]$ . Déterminer la loi de $Y = 4 X - 2$ .

Corrigé

Par la fonction de répartition. Pour $t \in [- 2, 2]$ ,

$F_{Y} (t) = P (4 X - 2 ⩽ t) = P (X ⩽ \frac{t + 2}{4}) = \frac{t + 2}{4} .$

En dérivant, $f_{Y} (t) = \frac{1}{4}$ sur $[- 2, 2]$ : donc $Y ↪ U [- 2, 2]$ .

Par la formule du cours. $a + (b - a) X$ avec $a = - 2$ et $b = 2$ donne $- 2 + 4 X$ : c'est bien $Y$ .

Moments. $E (Y) = 0$ et $V (Y) = \frac{16}{12} = \frac{4}{3}$ . On les retrouve par linéarité : $4 \times \frac{1}{2} - 2 = 0$ et $16 \times \frac{1}{12} = \frac{4}{3}$ .

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.