Approximation par la loi normale

Convergences, approximations et estimation · Convergences et approximations · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Soit $X ↪ B (400; 0, 5)$ . Estimer $P ([X ⩾ 220])$ à l'aide du théorème limite central.

Corrigé

Moments. $E (X) = 200$ et $V (X) = 400 \times 0, 25 = 100$ , donc $σ = 10$ .

Centrage.

$P ([X ⩾ 220]) = P (\frac{X - 200}{10} ⩾ 2) \approx 1 - Φ (2) \approx 1 - 0, 9772 = 0, 0228.$

Valeur exacte. Le calcul binomial donne $0, 0255$ . L'approximation est correcte à $0, 003$ près — acceptable, et l'écart vient de ce qu'on approche une loi discrète par une loi continue.

L'ordre de grandeur suffit souvent : « environ $2, 5 %$ », c'est ce qu'on retient.

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