Bienaymé-Tchebychev

Convergences, approximations et estimation · Les deux inégalités · niveau 1 (application)

Énoncé

Soit $X$ d'espérance $10$ et de variance $4$ . Majorer $P ([∣ X - 10∣ ⩾ 5])$ .

Corrigé

$P ([∣ X - 10∣ ⩾ 5]) ⩽ \frac{V ( X )}{5 ^{2}} = \frac{4}{25} = 0, 16.$

Autrement dit, au moins $84 %$ de la masse est dans $] 5, 15 [$ .

Et si $X$ était normale ? $5$ est à $2, 5$ écarts-types de la moyenne, et $P (∣ X - μ ∣ ⩾ 2, 5 σ) \approx 0, 0124$ : treize fois moins. La majoration universelle se paie.

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