Ce que la loi des grands nombres ne dit pas

Ce qu'on emploie. L'indépendance des lancers, et l'énoncé exact de la loi faible des grands nombres — qui porte sur une limite de probabilités, non sur leur nullité.

Les deux probabilités. $F_n=1$ signifie que les $n$ lancers ont tous donné « pile ». Les lancers étant indépendants, $$P([F_n=1])={\left(\frac{1}{2}\right)}^n,$$ et de même $P([F_n=0])={\left(\frac{1}{2}\right)}^n$ pour la suite de $n$ « face ».

La minoration. Si $F_n=1$ ou si $F_n=0$, alors $|F_n-\frac{1}{2}|=\frac{1}{2}$, donc l'événement $[|F_n-\frac{1}{2}|⩾\frac{1}{2}]$ contient ces deux événements incompatibles : $$P\left(\left[\left|F_n-\frac{1}{2}\right|⩾\frac{1}{2}\right]\right)⩾2{\left(\frac{1}{2}\right)}^n=\frac{1}{2^{n-1}}>0.$$

Le commentaire. Cette probabilité est strictement positive pour tout $n$ : il n'existe aucun rang à partir duquel l'écart à $\frac{1}{2}$ deviendrait impossible. Mille lancers tous « pile » restent un événement de probabilité non nulle.

Et pourtant la loi faible des grands nombres s'applique : avec $\epsilon =\frac{1}{2}$, elle affirme que $$\underset{n\to +\infty }{\lim }P\left(\left[\left|F_n-\frac{1}{2}\right|⩾\frac{1}{2}\right]\right)=0,$$ ce qui est bien compatible avec la minoration $\frac{1}{2^{n-1}}$, elle-même de limite nulle.

La leçon. La loi des grands nombres ne dit pas que l'écart devient impossible, mais que sa probabilité tend vers $0$. Elle ne garantit rien sur une expérience particulière : elle décrit un comportement de long terme, et c'est là toute la différence entre « improbable » et « impossible ».