Choisir la loi de Poisson

Convergences, approximations et estimation · Convergences et approximations · niveau 2

Énoncé

Une pièce est défectueuse avec la probabilité $0, 004$ , indépendamment des autres. Sur un lot de $500$ pièces, estimer la probabilité d'en trouver au plus une défectueuse, en approchant la loi du nombre de pièces défectueuses par une loi de Poisson. On donne $e^{- 2} \approx 0, 1353$ .

Corrigé

La loi exacte. Le nombre $X$ de pièces défectueuses compte les succès de $500$ épreuves indépendantes de même probabilité : $X ↪ B (500; 0, 004)$ .

Pourquoi Poisson. Le théorème du cours porte sur $B (n; \frac{λ}{n})$ : $n$ grand, $p$ petit, le produit $n p$ restant fixe. Ici $n = 500$ est grand, $p = 0, 004$ est petit, et

$λ = n p = 500 \times 0, 004 = 2.$

On approche donc $X$ par $P (2)$ .

Le calcul. Pour $P (2)$ , $P ([X = k]) = e^{- 2} \frac{2 ^{k}}{k !}$ , donc

$P ([X ⩽ 1]) = P ([X = 0]) + P ([X = 1]) = e^{- 2} (1 + 2) = 3 e^{- 2} \approx 0, 4060.$

Contrôle. Le calcul binomial exact donne $0, 4055$ : l'écart est de $5 \times 1 0^{- 4}$ , pour un calcul sans facteur binomial.

Le point à retenir. C'est $n p$ qui décide de l'approximation. Petit et borné, il appelle Poisson ; grand, il appellerait le théorème limite central et une loi normale. Les deux sont des convergences en loi de la même famille binomiale, mais elles ne se remplacent pas.

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