Choisir la loi de Poisson

Exercice · niveau 2 · mathématiques appliquées (ECG 2e année), chapitre 12 — Convergences, approximations et estimation · Convergences et approximations

Énoncé

Une pièce est défectueuse avec la probabilité $0, 004$ , indépendamment des autres. Sur un lot de $500$ pièces, estimer la probabilité d'en trouver au plus une défectueuse, en approchant la loi du nombre de pièces défectueuses par une loi de Poisson. On donne $e^{- 2} \approx 0, 1353$ .

Corrigé

La loi exacte. Le nombre $X$ de pièces défectueuses compte les succès de $500$ épreuves indépendantes de même probabilité : $X ↪ B (500; 0, 004)$ .

Pourquoi Poisson. Le théorème du cours porte sur $B (n; \frac{λ}{n})$ : $n$ grand, $p$ petit, le produit $n p$ restant fixe. Ici $n = 500$ est grand, $p = 0, 004$ est petit, et

$λ = n p = 500 \times 0, 004 = 2.$

On approche donc $X$ par $P (2)$ .

Le calcul. Pour $P (2)$ , $P ([X = k]) = e^{- 2} \frac{2 ^{k}}{k !}$ , donc

$P ([X ⩽ 1]) = P ([X = 0]) + P ([X = 1]) = e^{- 2} (1 + 2) = 3 e^{- 2} \approx 0, 4060.$

Contrôle. Le calcul binomial exact donne $0, 4055$ : l'écart est de $5 \times 1 0^{- 4}$ , pour un calcul sans facteur binomial.

Le point à retenir. C'est $n p$ qui décide de l'approximation. Petit et borné, il appelle Poisson ; grand, il appellerait le théorème limite central et une loi normale. Les deux sont des convergences en loi de la même famille binomiale, mais elles ne se remplacent pas.

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.