mathématiques appliquées (ECG 2e année) · Chapitre 12 · Exercice

Combien de lancers ?

Convergences, approximations et estimation · Les deux inégalités · niveau 2

Énoncé

On lance $n$ fois une pièce équilibrée et l'on note $F_{n}$ la fréquence de « pile ». Combien de lancers faut-il pour garantir $P ([∣ F_{n} - 0, 5∣ ⩾ 0, 02]) ⩽ 0, 05$ par Bienaymé-Tchebychev ?

Corrigé

On veut $\frac{0 , 25}{n \times 0 , 0 2 ^{2}} ⩽ 0, 05$ , soit

$n ⩾ \frac{0 , 25}{0 , 0004 \times 0 , 05} = \frac{0 , 25}{0 , 00002} = 12 500.$

Il faut donc $12500$ lancers selon Tchebychev.

Par le théorème limite central, on demanderait $1, 96 \times \frac{0 , 5}{n} ⩽ 0, 02$ , soit $n ⩾ 49$ et $n ⩾ 2401$ . Cinq fois moins — mais c'est une garantie asymptotique, pas une majoration certaine.

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