Convergence en loi

Exercice · niveau 2 · mathématiques appliquées (ECG 2e année), chapitre 12 — Convergences, approximations et estimation · Convergences et approximations

Énoncé

Soit $X_{n} ↪ B (n, \frac{3}{n})$ . Vers quelle loi $X_{n}$ converge-t-elle ? Calculer $lim P ([X_{n} = 0])$ de deux façons.

Corrigé

La limite. Par le théorème du cours, $X_{n}$ converge en loi vers $P (3)$ .

Directement. $P ([X_{n} = 0]) = (1 - \frac{3}{n})^{n}$ , dont la limite est $e^{- 3} \approx 0, 0498$ .

Par la loi limite. Pour $P (3)$ , $P ([X = 0]) = e^{- 3}$ . Les deux coïncident.

Contrôle numérique. Pour $n = 100$ : $(1 - 0, 03)^{100} \approx 0, 0476$ . L'écart à $0, 0498$ est encore de $4 %$ — la convergence n'est pas immédiate.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.