Deux majorations de la même probabilité

Ce qu'on emploie. Les deux inégalités du cours, et l'inclusion d'événements qui permet d'appliquer la seconde à un événement qui n'est pas de la forme $[|X-E(X)|⩾\epsilon ]$.

Par Markov. $X$ est positive et admet une espérance, donc avec $a=4>0$ : $$P([X⩾4])⩽\frac{E(X)}{4}=\frac{1}{4}=0,25.$$

Par Bienaymé-Tchebychev. L'événement $[X⩾4]$ n'est pas directement de la bonne forme ; on l'y ramène par une inclusion. Si $X⩾4$, alors $X-1⩾3$, donc $|X-1|⩾3$. Ainsi $$[X⩾4]\subset [|X-E(X)|⩾3],$$ et la croissance de la probabilité donne $$P([X⩾4])⩽P\left(\right[|X-1|⩾3])⩽\frac{V(X)}{3^2}=\frac{1}{9}\approx 0,111.$$

La comparaison. $\frac{1}{9}<\frac{1}{4}$ : Bienaymé-Tchebychev donne ici la meilleure majoration, c'est-à-dire la plus petite. Ce n'est pas surprenant : elle utilise une information de plus, la variance, que Markov ignore.

Le point de vigilance. Cette hiérarchie n'est pas universelle. Si la variance avait valu $9$ au lieu de $1$, Bienaymé-Tchebychev aurait donné $\frac{9}{9}=1$, majoration vraie mais sans aucun intérêt, tandis que Markov aurait conservé son $\frac{1}{4}$. On calcule les deux, puis on garde la plus petite — jamais l'inverse.

Ce qu'aucune des deux ne dit. Ni l'une ni l'autre ne donne la vraie valeur de $P([X⩾4])$, qui dépend de la loi de $X$ et peut être bien inférieure à $\frac{1}{9}$ — ou lui être égale, comme le montre le cas d'égalité.