Estimer la borne d'une loi uniforme

Sans biais. Pour la loi uniforme sur $[0,\theta ]$, $E(X)=\frac{0+\theta }{2}=\frac{\theta }{2}$. Par linéarité, $E(\overline{X_n})=\frac{\theta }{2}$, donc

$$E(T_n)=2E(\overline{X_n})=\theta .$$

L'estimateur est sans biais, et cela pour tout $n$.

Variance. Pour la loi uniforme sur $[0,\theta ]$, $V(X)=\frac{{\theta }^2}{12}$. Les $X_i$ étant indépendantes et de même loi, $V(\overline{X_n})=\frac{{\theta }^2}{12n}$, et comme la variance est quadratique,

$$V(T_n)=2^2\times \frac{{\theta }^2}{12n}=\frac{{\theta }^2}{3n}.$$

Elle tend vers $0$ : par Bienaymé-Tchebychev, l'estimateur est convergent.

L'estimation. $n=50$ et $\overline{x}=3,2$ donnent $\hat{\theta }=2\times 3,2=6,4$, avec $V(T_{50})=\frac{{\theta }^2}{150}$.

Le point délicat. Rien n'empêche $T_n$ de rendre une valeur inférieure à la plus grande observation, alors qu'on sait que $\theta$ lui est supérieur : un estimateur sans biais peut proposer une valeur impossible. Le biais et la variance ne disent pas tout.

Le point à retenir. Sans biais se lit sur l'espérance, la qualité sur la variance, et la vraisemblance des valeurs produites ne se lit sur ni l'une ni l'autre — elle se vérifie à part.