Estimer le paramètre d'une loi de Poisson

Ce qu'on emploie. Les moments de la loi de Poisson — $E(X)=\lambda$ et $V(X)=\lambda$ —, la linéarité de l'espérance, et l'additivité de la variance pour des variables indépendantes.

Le biais. Les $X_i$ suivent toutes la loi $\mathcal{P}(\lambda )$, donc $E(X_i)=\lambda$ pour chaque $i$. Par linéarité, $$E\left(\overline{X_n}\right)=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^{n}E(X_i)=\frac{n\lambda }{n}=\lambda .$$ L'estimateur est donc sans biais.

La variance. Les variables d'un échantillon sont indépendantes, donc les variances s'ajoutent ; et $V(aY)=a^{2}V(Y)$ : $$V\left(\overline{X_n}\right)=\frac{1}{n^2}\sum _{i=1}^{n}V(X_i)=\frac{n\lambda }{n^2}=\frac{\lambda }{n}.$$

Lecture. La variance tend vers $0$ quand $n$ tend vers $+\infty$ : l'estimateur se concentre autour de $\lambda$, ce qui est la traduction de la loi faible des grands nombres. Son écart-type vaut $\sqrt{\frac{\lambda }{n}}$ et décroît en $\frac{1}{\sqrt{n}}$ : quadrupler l'échantillon divise l'incertitude par deux, jamais par quatre.

Une particularité de la loi de Poisson. Son espérance et sa variance sont égales. La moyenne empirique estime donc du même coup les deux, ce qui n'a rien de général.