L'une se déduit de l'autre

Ce qu'on emploie. L'inégalité de Markov : si $Y$ est positive et admet une espérance, alors $P([Y⩾a])⩽\frac{E(Y)}{a}$ pour tout $a>0$. Et la définition de la variance, $V(X)=E((X-E(X){)}^2)$.

La variable auxiliaire. Posons $Y=(X-E(X){)}^2$. Elle est positive, comme carré d'une variable réelle : la première hypothèse de Markov est vérifiée. Elle admet une espérance, puisque $X$ admet un moment d'ordre $2$, et cette espérance est $$E(Y)=E\left(\right(X-E(X){)}^2)=V(X).$$

La traduction de l'événement. Soit $\epsilon >0$. Les deux événements $$[|X-E(X)|⩾\epsilon ]\text{et}[Y⩾{\epsilon }^2]$$ sont le même. En effet, la fonction $t\mapsto t^2$ est strictement croissante sur $[0,+\infty [$, donc $|X-E(X)|⩾\epsilon$ équivaut à $|X-E(X){|}^2⩾{\epsilon }^2$, c'est-à-dire à $Y⩾{\epsilon }^2$. C'est le point délicat de la démonstration : sans l'élévation au carré des deux membres, les deux inégalités ne se correspondent pas.

L'application de Markov. Comme ${\epsilon }^2>0$, on peut prendre $a={\epsilon }^2$ : $$P\left(\right[|X-E(X)|⩾\epsilon \left]\right)=P\left(\right[Y⩾{\epsilon }^2\left]\right)⩽\frac{E(Y)}{{\epsilon }^2}=\frac{V(X)}{{\epsilon }^2}.$$

C'est exactement l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev.

Ce que la démonstration éclaire. Bienaymé-Tchebychev n'est pas un résultat séparé : c'est Markov appliquée au carré de l'écart à la moyenne. C'est aussi pourquoi le $\epsilon$ y apparaît au carré au dénominateur, alors que Markov n'a qu'un $a$ à la puissance $1$.