La loi des grands nombres pour une fréquence

Ce qu'on emploie. La linéarité de l'espérance, l'additivité de la variance pour des variables indépendantes, l'étude du trinôme $p\mapsto p(1-p)$, et l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev.

L'espérance. Par linéarité, $$E(F_n)=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^{n}E(X_i)=\frac{np}{n}=p.$$

La variance. Les $X_i$ sont indépendantes, donc les variances s'ajoutent, et $V(aX)=a^{2}V(X)$ : $$V(F_n)=\frac{1}{n^2}\sum _{i=1}^{n}V(X_i)=\frac{np(1-p)}{n^2}=\frac{p(1-p)}{n}.$$

La majoration uniforme. La fonction $g(p)=p(1-p)=p-p^2$ a pour dérivée $1-2p$, qui s'annule en $p=\frac{1}{2}$ en changeant de signe du $+$ au $-$ : $g$ y atteint son maximum, égal à $\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$. Donc $$p(1-p)⩽\frac{1}{4}\text{pour tout }p\in [0,1],\text{d’ouˋ}V(F_n)⩽\frac{1}{4n}.$$

La majoration de la probabilité. Bienaymé-Tchebychev appliquée à $F_n$, dont l'espérance est $p$, donne pour tout $\epsilon >0$ $$P\left(\right[|F_n-p|⩾\epsilon \left]\right)⩽\frac{V(F_n)}{{\epsilon }^2}=\frac{p(1-p)}{n{\epsilon }^2}⩽\frac{1}{4n{\epsilon }^2}.$$

Ce que cette dernière borne apporte. Elle ne contient plus $p$. On peut donc l'employer alors même que le paramètre est inconnu — ce qui est le cas dans tout sondage. Et comme elle tend vers $0$ quand $n$ tend vers $+\infty$, elle démontre la loi faible des grands nombres pour la fréquence, uniformément en $p$.

Application chiffrée. Pour $\epsilon =0,01$ et $n=10000$, la borne vaut $\frac{1}{4\times 10^4\times 10^{-4}}=0,25$ : il faut des échantillons considérables pour que Bienaymé-Tchebychev devienne informative.