mathématiques appliquées (ECG 2e année) · Chapitre 12 · Exercice

La loi faible des grands nombres

Convergences, approximations et estimation · Les deux inégalités · niveau 2

Énoncé

On lance $n$ fois une pièce équilibrée et on note $F_{n}$ la fréquence de « pile ». Majorer $P ([∣ F_{n} - 0, 5∣ ⩾ 0, 05])$ pour $n = 400$ .

Corrigé

$F_{n} = X_{n}$ où $X_{i} ↪ B (1; 0, 5)$ , de variance $0, 25$ . Donc $V (F_{n}) = \frac{0 , 25}{400} = 0, 000625$ , et

$P ([∣ F_{n} - 0, 5∣ ⩾ 0, 05]) ⩽ \frac{0 , 000625}{0 , 0025} = 0, 25.$

Par le théorème limite central. $σ (F_{n}) = 0, 025$ , et $0, 05$ vaut donc $2$ écarts-types : la vraie probabilité est de l'ordre de $2 (1 - Φ (2)) \approx 0, 0455$ .

L'écart entre les deux — $0, 25$ contre $0, 046$ — est le prix de l'universalité de Tchebychev.

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