Le même lot, l'autre approximation

Exercice · niveau 2 · mathématiques appliquées (ECG 2e année), chapitre 12 — Convergences, approximations et estimation · Convergences et approximations

Énoncé

Une machine produit $2 %$ de pièces défectueuses, indépendamment les unes des autres. Sur $2500$ pièces, estimer la probabilité d'en trouver au moins $64$ défectueuses, à l'aide du théorème limite central. On donne $Φ (2) \approx 0, 9772$ .

Corrigé

La loi et ses moments. Le nombre $X$ de pièces défectueuses suit $B (2500; 0, 02)$ , donc

$E (X) = 2500 \times 0, 02 = 50, V (X) = 2500 \times 0, 02 \times 0, 98 = 49, σ = 7.$

Pourquoi la loi normale ici. $X$ est une somme de $2500$ variables de Bernoulli indépendantes et de même loi : le théorème limite central s'applique, et $n p = 50$ est grand — ce n'est pas le régime de Poisson.

Le calcul. On centre et l'on réduit :

$P ([X ⩾ 64]) = P (\frac{X - 50}{7} ⩾ 2) \approx 1 - Φ (2) \approx 1 - 0, 9772 = 0, 0228.$

Environ $2, 3 %$ des lots dépasseront $63$ pièces défectueuses.

Le point délicat. L'approximation remplace une loi à valeurs entières par une loi à densité ; l'écart est de l'ordre du centième ici, et il grandit dès que $n p$ redevient petit.

Le point à retenir. Même famille binomiale, même question, deux approximations différentes : $n p$ borné appelle Poisson, $n p$ grand appelle la loi normale. Choisir se fait en calculant $n p$ avant toute chose.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.