Le prix de la confiance

Ce qu'on emploie. L'intervalle de confiance asymptotique issu du théorème limite central : de demi-largeur $t_{\alpha }\frac{\sigma }{\sqrt{n}}$ autour de la moyenne observée, où $t_{\alpha }$ est le quantile d'ordre $1-\frac{\alpha }{2}$ de $\mathcal{N}(0,1)$.

L'erreur type. Elle ne dépend pas du niveau : $$\frac{\sigma }{\sqrt{n}}=\frac{8}{\sqrt{64}}=\frac{8}{8}=1.$$

Au niveau $95\%$. Ici $\alpha =0,05$ et $t_{\alpha }=1,96$, donc la demi-largeur vaut $1,96\times 1=1,96$ : $$I_{95}=[50-1,96;50+1,96]=[48,04;51,96].$$

Au niveau $99\%$. Ici $\alpha =0,01$ et $t_{\alpha }=2,58$ : $$I_{99}=[50-2,58;50+2,58]=[47,42;52,58].$$

La comparaison. Le second intervalle contient le premier, et sa largeur lui est supérieure dans le rapport $$\frac{2,58}{1,96}\approx 1,32.$$ Exiger $99\%$ de confiance au lieu de $95\%$ coûte donc environ $32\%$ de précision en moins, sur les mêmes données.

Combien de mesures pour compenser ? Pour retrouver la demi-largeur $1,96$ au niveau $99\%$, il faudrait $n^{\prime }$ tel que $2,58\times \frac{8}{\sqrt{n^{\prime }}}=1,96$, soit $$\sqrt{n^{\prime }}=\frac{8\times 2,58}{1,96}\approx 10,53,n^{\prime }\approx 111.$$ Il faudrait donc $111$ mesures au lieu de $64$ — presque le double.

Le point à retenir. Confiance et précision se paient l'une l'autre. On ne peut gagner sur les deux qu'en augmentant $n$, et comme la demi-largeur décroît en $\frac{1}{\sqrt{n}}$, quadrupler l'échantillon ne divise l'incertitude que par deux.