Maximum de vraisemblance

Exercice · niveau 3 (difficile) · mathématiques appliquées (ECG 2e année), chapitre 12 — Convergences, approximations et estimation · Estimation ponctuelle

Énoncé

On observe $7$ succès sur $10$ épreuves de Bernoulli indépendantes de paramètre $p$ inconnu. Déterminer l'estimation du maximum de vraisemblance de $p$ .

Corrigé

La vraisemblance. La probabilité d'observer exactement cette suite de résultats est

$L (p) = p^{7} (1 - p)^{3}, p \in] 0, 1 [.$

Maximisation. On dérive :

$L^{'} (p) = 7 p^{6} (1 - p)^{3} - 3 p^{7} (1 - p)^{2} = p^{6} (1 - p)^{2} [7 (1 - p) - 3 p] = p^{6} (1 - p)^{2} (7 - 10 p) .$

Le facteur $p^{6} (1 - p)^{2}$ est positif sur $] 0, 1 [$ : le signe de $L^{'}$ est celui de $7 - 10 p$ . Donc $L$ croît jusqu'à $p = 0, 7$ puis décroît.

Estimation. $p = 0, 7$ , c'est-à-dire la fréquence observée.

Le résultat général. Pour $k$ succès sur $n$ , le même calcul donne $p = \frac{k}{n}$ . Le maximum de vraisemblance redonne l'estimateur naturel — ce n'est pas toujours le cas, mais ça l'est ici.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.