Maximum de vraisemblance

La vraisemblance. La probabilité d'observer exactement cette suite de résultats est

$$L(p)=p^7(1-p{)}^3,p\in ]0,1[.$$

Maximisation. On dérive :

$$L^{\prime }(p)=7p^6(1-p{)}^3-3p^7(1-p{)}^2=p^6(1-p{)}^2[7(1-p)-3p]=p^6(1-p{)}^2(7-10p).$$

Le facteur $p^6(1-p{)}^2$ est positif sur $]0,1[$ : le signe de $L^{\prime }$ est celui de $7-10p$. Donc $L$ croît jusqu'à $p=0,7$ puis décroît.

Estimation. $\hat{p}=0,7$, c'est-à-dire la fréquence observée.

Le résultat général. Pour $k$ succès sur $n$, le même calcul donne $\hat{p}=\frac{k}{n}$. Le maximum de vraisemblance redonne l'estimateur naturel — ce n'est pas toujours le cas, mais ça l'est ici.