Minorer, plutôt que majorer

Ce qu'on emploie. L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, puis le passage à l'événement contraire — car l'inégalité majore une probabilité d'écart, et la question en minore une de proximité.

La variance. L'énoncé donne l'écart-type, pas la variance : $$V(X)=\sigma (X{)}^2=5^2=25.$$ C'est le premier piège : appliquer l'inégalité avec $5$ au lieu de $25$ donnerait un résultat faux.

La traduction de l'événement. L'encadrement $90<X<110$ équivaut à $-10<X-100<10$, c'est-à-dire à $|X-100|<10$. L'événement contraire est donc $[|X-100|⩾10]$.

La majoration du contraire. Avec $\epsilon =10$ : $$P([|X-100|⩾10])⩽\frac{25}{100}=0,25.$$

La minoration cherchée. En passant au complémentaire, et parce que $P(\overline{A})=1-P(A)$ renverse le sens de l'inégalité : $$P([90<X<110])=1-P([|X-100|⩾10])⩾1-0,25=0,75.$$

Conclusion. Au moins $75\%$ des valeurs se trouvent entre $90$ et $110$, et ce quelle que soit la loi de $X$. Pour une loi normale, la vraie valeur serait d'environ $95,4\%$ : l'écart mesure la généralité de l'outil.