Poisson ou loi normale ?

Exercice d'entraînement · niveau 2 · mathématiques appliquées (ECG 2e année), chapitre 12 — Convergences, approximations et estimation · Convergence en loi et approximations

Énoncé

Dans chacun des deux cas, dire quelle approximation employer et mener le calcul. (a) $1000$ pièces indépendantes, chacune défectueuse avec la probabilité $0, 003$ : estimer la probabilité qu'aucune ne le soit. (b) $X$ compte les succès de $1200$ tirages indépendants de probabilité $0, 25$ : estimer $P ([X ⩽ 324])$ . On donne $Φ (1, 6) = 0, 9452$ .

Corrigé

Le critère de choix. Une loi $B (n, p)$ s'approche par $P (n p)$ lorsque $n$ est grand et $p$ petit, le produit $n p$ restant modéré — c'est le théorème « de la binomiale à Poisson ». Elle s'approche par une loi normale lorsque $n$ est grand sans que $p$ soit petit, en vertu du théorème limite central.

(a) La loi de Poisson. Ici $n = 1000$ est grand, $p = 0, 003$ est petit, et $λ = n p = 1000 \times 0, 003 = 3$ reste modéré. On approche donc la loi de $X$ par $P (3)$ : $P ([X = 0]) \approx e^{- 3} \frac{3 ^{0}}{0 !} = e^{- 3} \approx 0, 0498.$ Environ $5 %$ des lots ne contiennent aucune pièce défectueuse.

(b) Le théorème limite central. Ici $p = 0, 25$ n'est pas petit et $n p = 300$ est grand : la loi de Poisson ne convient pas. On écrit $X$ comme somme de $1200$ variables de Bernoulli indépendantes de même paramètre, avec $E (X) = n p = 300, V (X) = n p (1 - p) = 1200 \times 0, 25 \times 0, 75 = 225,$ donc $σ = 225 = 15$ . Le théorème limite central donne $P ([X ⩽ 324]) \approx P ([X^{*} ⩽ \frac{324 - 300}{15}]) = Φ (1, 6) = 0, 9452,$ où $X^{*} = \frac{X - 300}{15}$ est approximativement de loi $N (0, 1)$ .

Le point de vigilance. Dans le second calcul, on divise par l'écart-type $15$ , et non par la variance $225$ . C'est l'erreur la plus fréquente, et elle donne un quotient si petit que la probabilité obtenue est absurde.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.