Quand l'hypothèse de même variance saute

Ce qu'on emploie. L'additivité de la variance pour des variables indépendantes, la somme ${\sum }_{i=1}^{n}i=\frac{n(n+1)}{2}$, et l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev — dont on va voir qu'elle cesse d'être utile.

La variance de la moyenne. Par indépendance, $$V\left(\overline{X_n}\right)=\frac{1}{n^2}\sum _{i=1}^{n}V(X_i)=\frac{1}{n^2}\sum _{i=1}^{n}i=\frac{1}{n^2}\times \frac{n(n+1)}{2}=\frac{n+1}{2n}.$$

Sa limite. En factorisant par $n$ au numérateur et au dénominateur : $$\frac{n+1}{2n}=\frac{1+\frac{1}{n}}{2}\underset{n\to +\infty }{\to }\frac{1}{2}.$$ La variance de la moyenne ne tend pas vers $0$ : elle se stabilise à $\frac{1}{2}$. C'est le contraire de ce qui se passe dans le cas usuel, où elle vaut $\frac{{\sigma }^2}{n}$ et s'effondre.

La majoration. L'espérance de $\overline{X_n}$ est nulle par linéarité. Bienaymé-Tchebychev donne, pour $\epsilon >0$, $$P\left(\right[|\overline{X_n}|⩾\epsilon \left]\right)⩽\frac{n+1}{2n{\epsilon }^2}\underset{n\to +\infty }{\to }\frac{1}{2{\epsilon }^2}.$$ Le majorant tend vers une constante strictement positive, et non vers $0$.

Ce qu'on peut conclure — et ce qu'on ne peut pas. La démonstration du cours ne fonctionne plus : elle reposait entièrement sur le fait que $\frac{{\sigma }^2}{n{\epsilon }^2}$ tende vers $0$. On ne peut donc pas affirmer ici la loi faible des grands nombres par cette voie. Attention toutefois : ceci ne prouve pas que la convergence est fausse — une majoration qui ne tend pas vers $0$ ne dit rien sur la quantité majorée. Elle dit seulement que cet outil-là est devenu muet.

La leçon. L'hypothèse « de même variance » du théorème n'est pas une commodité de rédaction : elle est ce qui fait converger la borne. Des variables dont la dispersion croît indéfiniment ne se laissent pas moyenner de la même façon.